Question

设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=3，求a的取值范围．

Answer 1

考点：全称命题

专题：函数的性质及应用

分析：先由方程log_ax+log_ay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．

解答： 解：∵log_ax+log_ay=3，
∴log_axy=3，
即xy=a³，得y=

a3

x

，
则函数y=f（x）=

a3

x

，在[a，2a]上单调递减，
∴y∈[

1

2

a2，a²]，
故

1

2

a2≥a，
解得a≥2，
故a的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，根据对数的运算法则进行化简是解决本题的关键．