Question

已知函数f（x）=

2

cos（x+

π

4

），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若θ∈（0，

π

2

），且f（θ）=

1

2

，求sin2θ的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据f(x)=

2

cos(x+

π

4

)，可得函数f（x）的最小正周期以及值域．
（2）根据f(θ)=

1

2

，求得cos(θ+

π

4

)=

2

4

，再根据sin2θ=-cos(

π

2

+2θ)=1-2cos2(θ+

π

4

)，计算求得结果．

解答： 解：（1）∵f(x)=

2

cos(x+

π

4

)，∴函数f（x）的最小正周期为2π．
∵x∈R，cos(x+

π

4

)∈[-1，1]，∴

2

cos(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
即函数f（x）的值域为[-

2

，

2

]．
（2）∵f(θ)=

1

2

，∴

2

cos(θ+

π

4

)=

1

2

，∴cos(θ+

π

4

)=

2

4

，
∴sin2θ=-cos(

π

2

+2θ)=1-2cos2(θ+

π

4

)=1-2×(

2

4

)2=

3

4

．

点评：本题主要考查正弦函数的周期性、值域以及二倍角公式的应用，属于中档题．