Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的性质,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；
（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG∥平面PAD，可得FG∥平面PAD，求出AD=CD，即可求AF的长；
（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答： （1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG∥平面PAD，

∵直线EF∥平面PAD，EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAD，
∵FG?平面EFG，
∴FG∥平面PAD
∵M为AC中点，DM⊥AC，
∴AD=CD．
∵∠ADC=120°，AB=4，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=

4 3

3

，
∵∠DGF=60°，DG=

2 3

3

，∴AF=1
（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，

∴B（4，0，0），C（2，2

3

，0），D（0，

4 3

3

，0），P（0，0，4）．

DB

=（4，-

4 3

3

，0）为平面PAC的法向量．
设平面PBC的一个法向量为

n

=（x，y，z），则
∵

PC

=（2，2

3

，-4），

PB

=（4，0，-4），
∴

2x+2 3 y-4z=0 4x-4z=0

，
令z=3，得x=3，y=

3

，则平面PBC的一个法向量为

n

=（3，

3

，3），
设二面角A-PC-B的大小为θ，则cosθ=

n • DB

| n || DB |

=

7

7

．
∴二面角A-PC-B余弦值为

7

7

．

点评：本题考查线面垂直的判定定理与性质，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．