Question

如图，圆锥顶点为P，其母线与底面所成的角为60°，AB过底面圆心O点，且∠CBA=60°．
（Ⅰ）试在圆0上找一点D，使得BD与平面PAC平行；
（Ⅱ）二选一：（两题都做，按第一题的解答给分）
    ①求直线PB与面PAC所成的角的正弦值
    ②二面角B-PA-C的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）D点是C点关于O点的对称点．证明DB∥AC，可得BD与平面PAC平行；
（Ⅱ）①利用V_P-ABC=V_B-APC，求出dB=

OP•S△ABC

S△PAC

，从而可求直线PB与面PAC所成的角的正弦值；
②取PA中点H，连BH，则BH⊥PA，从而可求二面角B-PA-C的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）D点是C点关于O点的对称点．
证明如下：连DA、DB，由条件可得ABCD是矩形，
则DB∥AC，
因为AC?面PAC，BD?面PAC，
所以BD∥面PAC…（5分）
（Ⅱ）①不妨设OA=R，则PA=PB=PC=2R．
由条件可知PO⊥面ABC，
在△PAC中，PA=PC=2R，AC=

3

R，则△PAC面积为

39

4

R2，
又S_△ABC=

3 R2

2

|OP|=

3

R
因为V_P-ABC=V_B-APC，所以dB=

OP•S△ABC

S△PAC

=

2 39

13

R…（4分）
设直线PB与面PAC所成的角大小为θ，则sinθ=

dB

|PB|

=

39

13

②取PA中点H，连BH，则BH⊥PA…（4分）
设二面角B-PA-C的大小为θ，sinθ=

dB

|PH|

=

2 13

13

…（4分）．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．