Question

对于数列{a_n}，如果存在一个正整数T，使得对任意的n（n∈N*）都有a_n+T=a_n成立，那么数列{a_n}称作周期为T的周期数列，T的最小值称作数列{a_n}的最小正周期，以下简称周期．
（1）已知数列{a_n}的通项公式是a_n=cos

2nπ

3

，判断数列{a_n}是否是周期数列？并说明理由；
（2）设数列{a_n}满足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N*），a₁=1，a₂=2，且数列{a_n}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；
（3）设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=a（其中a是常数），a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N*），求数列{a_n}的前2014项和S₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a_n+3=a_n，即可得出．
（2）由数列{a_n}满足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N*），a₁=1，a₂=2，可得a₃，a₄．利用数列{a_n}是周期为3的周期数列，可得1=2λ²-λ-2．解得λ即可．．
（3）由于数列{a_n}满足a₁=1，a₂=a（其中a是常数），a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N*），可得a₂+a₃+a₄=…=a₂₀₁₂+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=cos

4π

3

=-

1

2

．即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+3=cos

2(n+3)π

3

=cos(2π+

2nπ

3

)=cos

2nπ

3

=a_n，
∴数列{a_n}是周期为3的数列．
（2）∵数列{a_n}满足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N*），a₁=1，a₂=2，
∴a₃=2λ-1，a₄=2λ²-λ-2．
∵数列{a_n}是周期为3的周期数列，∴1=2λ²-λ-2．解得λ=-1或

3

2

．经检验λ=-1．
（3）∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=a（其中a是常数），a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N^*），
∴a₂+a₃+a₄=…=a₂₀₁₂+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=cos

4π

3

=-

1

2

．
∴S₂₀₁₄=1+671（a₂+a₃+a₄）=1-

671

2

=-

669

2

．

点评：本题考查了数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．