Question

设函数f（x）=

x

a(x+2)

，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，f（x₁）=

2

2013

，f（x_n）=x_n+1（n∈N^*）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求x₂₀₁₅的值；
（3）若a_n=

4

xn

-4023且b_n=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

（n∈N^*），求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由x=

x

a(x+2)

，得ax（x+2）=x（a≠0），由此能求出f（x）=

2x

x+2

．
（2）由f（x_n）=x_n+1，得

2xn

xn+2

=x_n+1，从而数列{

1

xn

}是以

1

x1

为首项，

1

2

为公差的等差数列．由此能求出x_n=

2

n+2011

，从而x₂₀₁₅=

2

2015+2011

=

1

2013

．
（3）由x_n=

2

n+2011

，得a_n=2n-1，从而b_n=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，由此能证明b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

解答： （1）解：由x=

x

a(x+2)

，得ax（x+2）=x（a≠0），
所以ax²+（2a-1）x=0，
当且仅当a=

1

2

时，方程x=f（x）有唯一解．
从而f（x）=

2x

x+2

．
（2）解：由已知f（x_n）=x_n+1，得

2xn

xn+2

=x_n+1，
∴

1

xn+1

=

1

2

+

1

xn

，即

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

（n∈N^*），
∴数列{

1

xn

}是以

1

x1

为首项，

1

2

为公差的等差数列．
∴

1

xn

=

1

x1

+（n-1）×

1

2

=

(n-1)x1+2

2x1

，故x_n=

2x1

(n-1)x1+2

．
∵f（x₁）=

2

2013

，∴

2x1

x1+2

=

2

2013

，解得x₁=

1

1006

．
∴x_n=

2× 1 1006

(n-1)• 1 1006 +2

=

2

n+2011

，故x₂₀₁₅=

2

2015+2011

=

1

2013

．
（3）证明：∵x_n=

2

n+2011

，∴a_n=4×

n+2011

2

-4 023=2n-1，
∴b_n=

an+12+an2

2an+1an

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴b₁+b₂+…+b_n-n
=(1+1-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

5

)+…+(1+

1

2n-1

-

1

2n+1

)-n
=1-

1

2n+1

＜1．
故b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

点评：本题考查函数的表达式的求法，考查数列的第2005项的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．