Question

5．已知函数f（x）=sinx-cosx，g（x）=sin2x
（1）试说明由函数y=g（x）的图象经过变换得到函数y=f（x）的图象的变换过程；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．
（2）令sinx-cosx=t，则可求sin2x=1-t²，可得h（x）=f（x）+g（x）=φ（t）=-t²+t+1，由t的范围，结合二次函数的性质可求值域．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$…（2分）
故先将y=sin2x的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍得到y=sinx的图象，
再将y=sinx的图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的$\sqrt{2}$倍得到$y=\sqrt{2}sinx$的图象，
再把所得图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，即得到$y=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$的图象．…（5分）
（2）令sinx-cosx=t，则1-2sinxcosx=t²
故sin2x=1-t²
故h（x）=f（x）+g（x）=φ（t）=-t²+t+1…（7分）
由（1）知，$t∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]，所以φ（t）在[{-\sqrt{2}，\frac{1}{2}}]递增，[{\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]递减$，
所以$φ（t）∈[{-\sqrt{2}-1，\frac{5}{4}}]$，故h（x）的值域为$[{-\sqrt{2}-1，\frac{5}{4}}]$…．（12分）

点评 本题值域考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，二次函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．