Question

5．设O为△ABC的外心，且$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的内角C=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 设$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞$=θ，△ABC的外接圆的半径为R．由于$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，变形$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$，作数量积运算可得：${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3${\overrightarrow{OC}}^{2}$，化为2+2cosθ=3，即可得出．

解答 解：设$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}＞$=θ，△ABC的外接圆的半径为R．
∵$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=-$\sqrt{3}$$\overrightarrow{OC}$，
∴${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3${\overrightarrow{OC}}^{2}$，
化为2+2cosθ=3，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$．
∴C=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、三角形外接圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．