Question

20．直线x+2y=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1相交于A，B两点，AB中点为M，若直线AB斜率与OM斜率之积为-$\frac{1}{4}$，则椭圆的离心率e的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求出k_OM，再由直线AB斜率与OM斜率之积为-$\frac{1}{4}$求得答案．

解答 解：设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²+4b²）x²-2a²x+a²-4a²b=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{2}（1-{x}_{1}）+\frac{1}{2}（1-{x}_{2}）$=$1-\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$=$1-\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}=\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}+4{b}^{2}}$，
∴${k}_{OM}=\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$，又${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}•（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{4}$，解得：e=$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．