Question

17．圆O的直径为BC，点A是圆周上异于B，C的一点，且|AB|•|AC|=1，若点P是圆O所在平面内的一点，且$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 9
• C． 76
• D． 81

Answer 1

分析 AB⊥AC，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0．由$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，可得${\overrightarrow{AP}}^{2}$=82，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AB}|$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=9$|\overrightarrow{AC}|$．代入$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}）•$$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}）$即可得出．

解答 解：∵AB⊥AC，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=0．
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴${\overrightarrow{AP}}^{2}$=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}$+$\frac{81{\overrightarrow{AC}}^{2}}{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}$+2$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}•\frac{9\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=82，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}|}$=$|\overrightarrow{AB}|$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{9{\overrightarrow{AC}}^{2}}{|\overrightarrow{AC}|}$=9$|\overrightarrow{AC}|$．
则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}）•$$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AP}}^{2}$
=82-（$|\overrightarrow{AB}|$+9$|\overrightarrow{AC}|$）
≤82-2$\sqrt{|\overrightarrow{AB}|•9|\overrightarrow{AC}|}$=76．
故选：C．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量三角形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．