Question

4．已知函数f（x）=ax²-2ax+3a-4在区间（-1，1）上有一个零点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若a=1，用二分法求f（x）=0在区间（-1，1）上的根．

Answer 1

分析 （1）讨论a，当a≠0时，函数f（x）的图象的对称轴为x=1，从而得f（-1）f（1）＜0，从而解得；
（2）若a=1，f（x）=x²-2x-1，从而可判断f（x）的零点在（-1，0）上，再依次二分求得f（x）=0在区间（-1，1）上的根的近似值．

解答 解：（1）若a=0，则f（x）=-4，
故函数f（x）在区间（-1，1）上没有零点；
若a≠0，函数f（x）的图象的对称轴为x=1；
∵函数f（x）=ax²-2ax+3a-4在区间（-1，1）上有一个零点，
∴f（-1）f（1）＜0，即（6a-4）（2a-4）＜0，
解得，$\frac{2}{3}$＜a＜2；
（2）若a=1，f（x）=x²-2x-1，
f（-1）=1+2-1=2＞0，f（0）=-1＜0；
故f（x）的零点在（-1，0）上，
f（-0.5）=0.25＞0；
故f（x）的零点在（-0.5，0）上，
f（-0.25）=-0.4375＜0；
故f（x）的零点在（-0.5，-0.25）上，
f（-0.325）=-0.244375＜0；
故f（x）的零点在（-0.5，-0.325）上，
f（-0.4125）=-0.00484375＜0；
故f（x）的零点在（-0.5，-0.4125）上，
f（-0.45625）=0.120664＞0；
故f（x）的零点在（-0.45625，-0.4125）上，
f（-0.434375）=0.0574316＞0；
故f（x）的零点在（-0.434375，-0.4125）上，
故f（x）=0在区间（-1，1）上的根的近似值为-0.4．

点评 本题考查了函数的零点的判定定理的应用及二分法的应用．