Question

9．已知点A，B，C在圆x²+y²=4上运动，且AB⊥BC．若点P的坐标为（3，4），则$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}|$的取值范围为（　　）

• A． [10，15]
• B． [12，17]
• C． [13，17]
• D． [15，17]

Answer 1

分析 画出图形，由题意可知AC为圆的直径，设出B，利用向量坐标加法运算求得$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$的坐标，再求模，利用三角函数求最值．

解答 解：∵AB⊥BC，∴AC为圆x²+y²=4的直径，如图，

∵P（3，4），∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}=（-6，-8）$，
设B（2cosθ，2sinθ），则$\overrightarrow{PB}=（2cosθ-3，2sinθ-4）$．
∴$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}|$=|（2cosθ-9，2sinθ-12）|=$\sqrt{（2cosθ-9）^{2}+（2sinθ-12）^{2}}$
=$\sqrt{229-12（4sinθ+3cosθ）}$=$\sqrt{229-60sin（θ+α）}$（tanα=$\frac{3}{4}$）．
∴$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}|$的最小值为$\sqrt{229-60}=13$，最大值为$\sqrt{229+60}=17$．
∴$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}|$的取值范围为[13，17]．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数最值的求法，考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．