Question

19．已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，圆C：（x-1）²+y²=r²．
（Ⅰ）求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；
（Ⅱ）如图，直线l与椭圆相交于A、B两点，且与圆C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两点之间的距离公式，根据x的取值范围，即可求得丨PC丨的最小值；
（Ⅱ）利用点差法求得直线AB的斜率，根据k_MC×k_AB=-1，求得M点坐标，由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}＜1$，求得y₀²＜$\frac{5}{9}$，由圆的方程，即可求得半径r的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），丨PC丨=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{\frac{3}{4}（x-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，
由-2≤x≤2，当x=$\frac{4}{3}$时，丨PC丨_min=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时且与椭圆C相切时，M在x轴上，
故满足条件的直线有两条；
当直线AB斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
则k_AB=-$\frac{{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，k_MC=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，k_MC×k_AB=-1，
则k_MC×k_AB=-$\frac{{x}_{0}}{4{y}_{0}}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=-1，解得：x₀=$\frac{4}{3}$，
由M在椭圆内部，则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}＜1$，解得：y₀²＜$\frac{5}{9}$，
由：r²=（x₀-1）²+y₀²=$\frac{1}{9}$+y₀²，
∴$\frac{1}{9}$＜r²＜$\frac{2}{3}$，解得：$\frac{1}{3}$＜r＜$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴半径r的取值范围（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

点评 本题考查点差法的应用，两点直线的距离性质，二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．