Question

某厂2013年、2014年某产品的生产量分别为1000件、1050件，由于技术条件的改进，该产品的年产量逐年递增．若用函数f（x）=a•b^x+c（b＞0，且b≠1）模拟该产品的年生产量f（x）与年份x（x∈N^*）的关系，设2013年为第一年即x=1．
（1）若b=

1

2

，试求函数f（x）的解析式；
（2）若b＞1，由于生产规模的限制，估计2015年该产品的生产量不会突破1200件（即生产量≤1200件），试依此估计求出a的取值范围．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）利用厂2013年、2014年某产品的生产量分别为1000件、1050件，建立方程组，求出a，c，即可求函数f（x）的解析式；
（2）由题意，

a•b+c=1000 a•b2+c=1050

，可得a=

50

b2-b

，c=1000-ab，结合2015年该产品的生产量不会突破1200件（即生产量≤1200件），可得ab³+c≤1200，确定b的范围，即可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，

1 2 a+c=1000 1 4 a+c=1050

，∴a=-200，c=1100，
∴f(x)=-200(

1

2

)x+1100(x∈N*)；（6分）
（2）由题意，

a•b+c=1000 a•b2+c=1050

，
∴a=

50

b2-b

，c=1000-ab
∵2015年该产品的生产量不会突破1200件（即生产量≤1200件），
∴ab³+c≤1200
∴ab³-ab≤200，
∴

50

b2-b

×（b³-b）≤200，
∴b≤3，
∵b＞1，
∴0＜b²-b≤6
∴a=

50

b2-b

≥

25

3

，即a∈[

25

3

，+∞)．（10分）

点评：本题考查函数模型的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．