Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3a_n-1=2S_n，等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₅-b₃=2，T₄=10
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若

b1

a1

-

b2

a2

+

b3

a3

-…-

b2n

a2n

＜c恒成立，求整数c的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n=3a_n-1，n≥2，3a₁-1=2S₁=2a₁，由此能求出a_n=3^n-1．由已知得

2d=2 4a1+6d=10

，由此能求出b_n=n．
（2）由已知得

1

1

-

2

3

+

3

32

-

4

33

+…+

2n

32n-1

＜c，设T_n=1+

2

-3

+

3

(-3)2

+

4

(-3)3

+…+

2n

(-3)2n-1

＜c，利用错位相减法能求出整数c的最小值．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且3a_n-1=2S_n，
∴3a_n-1-1=2S_n-1，n≥2
∴3a_n-3a_n-1=2a_n，即a_n=3a_n-1，n≥2
当n=1时，3a₁-1=2S₁=2a₁，解得a₁=1，
∴{a_n}为首项为1，公比为3的等比数列，
∴a_n=3^n-1．
∵等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₅-b₃=2，T₄=1，
∴

2d=2 4a1+6d=10

，解得b₁=1，d=1，
∴b_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵

b1

a1

-

b2

a2

+

b3

a3

-…-

b2n

a2n

＜c恒成立，
∴

1

1

-

2

3

+

3

32

-

4

33

+…+

2n

32n-1

＜c，
设T_n=1+

2

-3

+

3

(-3)2

+

4

(-3)3

+…+

2n

(-3)2n-1

＜c，
-

1

3

Tn=

1

-3

+

2

(-3)2

+

3

(-3)3

+…+

2n

(-3)2n

，
两式相减，得：

4

3

Tn=1+

1

-3

+

1

(-3)2

+

1

(-3)3

+…+

1

(-3)2n-1

-

2n

(-3)2n

=1+

(- 1 3 )[1-(- 1 3 )2n-1]

1-(- 1 3 )

-

2n

(-3)2n

=

3

4

+

1

4

(-

1

3

)2n-1-

2n

(-3)2n

，
∴T_n=

9

16

+

3

16

（-

1

3

）^2n-1-

3n

2•(-3)2n

＜c，
∵（T_n）_min=T₁=

9

16

+

3

16

×(-

1

3

)-

3

18

=

1

3

，
∴整数c的最小值为1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的整数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．