Question

已知函数f（x）=lnx-

1

x

，g（x）=ax+b．
（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-

1

x

图象的切线，求a+b的最小值；
（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求证：x₁x₂＞2e²．
（取e为2.8，取ln2为0.7，取

2

为1.4）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）-g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+∞）上单调递增，可得对?x＞0，都有h′（x）≥0，得到a≤

1

x

+

1

x2

，由

1

x

+

1

x2

＞0得到a的取值范围；
（2）设切点(x0，lnx0-

1

x0

)，写出切线方程，整理得到y=(

1

x0

+

1

x 2 0

)x+(lnx0-

2

x0

-1)，令

1

x0

=t＞0换元，可得a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，利用导数求其最小值；
（3）由题意知lnx1-

1

x1

=ax1，lnx2-

1

x2

=ax2，把a用含有x₁，x₂的代数式表示，得到lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

=

x1+x2

x2-x1

ln

x2

x1

，不妨令0＜x₁＜x₂，记t=

x2

x1

＞1，构造函数F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(t＞1)，由导数确定其单调性，从而得到ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

，即lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

=

x1+x2

x2-x1

ln

x2

x1

＞2，然后利用基本不等式放缩得到ln

x1x2

-

2

x1x2

＞1，令G(x)=lnx-

2

x

，再由导数确定G（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合又ln

2

e-

2

2 e

=

1

2

ln2+1-

2

e

≈0.85＜1得到

x1x2

＞

2

e，即x1x2＞2e2．

解答： （1）解：h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

x

-ax-b，则h′(x)=

1

x

+

1

x2

-a，
∵h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对?x＞0，都有h′(x)=

1

x

+

1

x2

-a≥0，
即对?x＞0，都有a≤

1

x

+

1

x2

，
∵

1

x

+

1

x2

＞0，∴a≤0，
故实数a的取值范围是（-∞，0]；
（2）解：设切点(x0，lnx0-

1

x0

)，则切线方程为y-(lnx0-

1

x0

)=(

1

x0

+

1

x 2 0

)(x-x0)，
即y=(

1

x0

+

1

x 2 0

)x-(

1

x0

+

1

x 2 0

)x0+(lnx0-

1

x0

)，亦即y=(

1

x0

+

1

x 2 0

)x+(lnx0-

2

x0

-1)，
令

1

x0

=t＞0，由题意得a=

1

x0

+

1

x 2 0

=t+t2，b=lnx0-

2

x0

-1=-lnt-2t-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，则φ′(t)=-

1

t

+2t-1=

(2t+1)(t-1)

t

，
当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；
当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，故a+b的最小值为-1；
（3）证明：由题意知lnx1-

1

x1

=ax1，lnx2-

1

x2

=ax2，
两式相加得lnx1x2-

x1+x2

x1x2

=a(x1+x2)，
两式相减得ln

x2

x1

-

x1-x2

x1x2

=a(x2-x1)，
即

ln x2 x1

x2-x1

+

1

x1x2

=a，
∴lnx1x2-

x1+x2

x1x2

=(

ln x2 x1

x2-x1

+

1

x1x2

)(x1+x2)，
即lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

=

x1+x2

x2-x1

ln

x2

x1

，
不妨令0＜x₁＜x₂，记t=

x2

x1

＞1，
令F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(t＞1)，则F′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

在（1，+∞）上单调递增，则F(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

＞F(1)=0，
∴lnt＞

2(t-1)

t+1

，则ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

，
∴lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

=

x1+x2

x2-x1

ln

x2

x1

＞2，
又lnx1x2-

2(x1+x2)

x1x2

＜lnx1x2-

4 x1x2

x1x2

=lnx1x2-

4

x1x2

=2ln

x1x2

-

4

x1x2

，
∴2ln

x1x2

-

4

x1x2

＞2，即ln

x1x2

-

2

x1x2

＞1，
令G(x)=lnx-

2

x

，则x＞0时，G′(x)=

1

x

+

2

x2

＞0，
∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，
又ln

2

e-

2

2 e

=

1

2

ln2+1-

2

e

≈0.85＜1，
∴G(

x1x2

)=ln

x1x2

-

2

x1x2

＞1＞ln

2

e-

2

2 e

，
则

x1x2

＞

2

e，即x1x2＞2e2．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法和函数构造法，本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，难度较大．