Question

已知函数f（x）=lnx+

1

x

-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-1，1），总存在x₀∈[1，e]，使得不等式ma-f（x₀）＜0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，令f'（x）＞0，得到函数f（x）的单调递增区间，令f'（x）＜0，得到函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求出函数最大值，得不等式组

m×1- 1 e ≤0 m×(-1)- 1 e ≤0.

，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，x＞0，
令f'（x）＞0，得x＞1，因此函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
令f'（x）＜0，得0＜x＜1，因此函数f（x）的单调递减区间是（0，1）．
（Ⅱ）依题意，ma＜f（x）_max，由（Ⅰ）知，f（x）在x∈[1，e]上是增函数，
∴f(x)max=f(e)=lne+

1

e

-1=

1

e

，
∴ma＜

1

e

，即ma-

1

e

＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立，
∴

m×1- 1 e ≤0 m×(-1)- 1 e ≤0.

，解得-

1

e

≤m≤

1

e

，
∴m的取值范围是[-

1

e

，

1

e

]．

点评：本题考查了函数的单调性问题，函数的最值问题，考查了导数的应用，是一道中档题．