Question

17．设f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x，则f（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，（k∈Z）．

Answer 1

分析 推导出f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出f（x）的单调递减区间．

解答 解：∵f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的单调递减区间满足：$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间是[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，（k∈Z）．
故答案为：[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数的减区间的求法，考查二倍角公式、降幂公式、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．