Question

2．已知函数$f（x）=2sin（ωx-\frac{π}{3}）+1$，其中ω＞0．
（I）若对任意x∈R都有$f（x）≤f（\frac{5π}{12}）$，求ω的最小值；
（II）若函数y=lgf（x）在区间$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上单调递增，求ω的取值范围•

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知f（x）在$x=\frac{5π}{12}$处取得最大值，令$\frac{5π}{12}ω-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，求出ω的最小值；
（Ⅱ）解法一：根据题意，利用正弦函数和对数函数的单调性，列出不等式求出ω的取值范围．
解法二：根据正弦函数的图象与性质，结合复合函数的单调性，列出不等式求出ω的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知f（x）在$x=\frac{5π}{12}$处取得最大值，
∴$\frac{5π}{12}ω-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$；…（2分）
解得$ω=2+\frac{24}{5}k，k∈Z$，…（4分）
又∵ω＞0，∴当k=0时，ω的最小值为2；…（5分）
（Ⅱ）解法一：∵$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]，ω＞0$，
∴$\frac{π}{4}ω-\frac{π}{3}≤ωx-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}ω-\frac{π}{3}$，…（6分）
又∵y=lgf（x）在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$内单增，且f（x）＞0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}ω-\frac{π}{3}＞-\frac{π}{6}+2kπ}\\{\frac{π}{2}ω-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ}\end{array}}\right.，k∈Z$．…（8分）
解得：$\frac{2}{3}+8k＜ω≤\frac{5}{3}+4k，k∈Z$．…（10分）
∵$\frac{2}{3}+8k＜\frac{5}{3}+4k$，∴$k＜\frac{1}{4}$且k∈Z，…（11分）
又∵ω＞0，∴k=0，
故ω的取值范围是$（{\frac{2}{3}，\frac{5}{3}}]$．…（12分）
解法二：根据正弦函数的图象与性质，得$\frac{T}{2}≥\frac{π}{2}-\frac{π}{4}$，
∴$T=\frac{2π}{ω}≥\frac{π}{2}$，∴0＜ω≤4，
又y=lgf（x）在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$内单增，且f（x）＞0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{π}{4}ω-\frac{π}{3}＞-\frac{π}{6}+2kπ}\\{\frac{π}{2}ω-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ}\end{array}}\right.，k∈Z$；
解得：$\frac{2}{3}+8k＜ω≤\frac{5}{3}+4k，k∈Z$；
可得k=0，所以ω的取值范围是$（{\frac{2}{3}，\frac{5}{3}}]$．

点评 本题考查了三角函数的化简与应用问题，也考查了复合函数的单调性问题，是综合性题目．