Question

已知函数f（x）=ln（ax）-

x-a

x

（a≠0）．
（1）求此函数的单调区间及最值；
（2）当a=1时，是否存在过点（-1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的定义域，再求导，然后分类讨论求出函数的单调区间和最值．
（2）求导数，利用导数的几何意义进行判断．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ln（ax）-

x-a

x

（a≠0）．
∴ax＞0
∴f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，
令f′（x）=0，得x=a，
①a＞0时，则x＞0，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
故当x=a时，函数有最小值，最小值为f（a）=2lna，
②a＜0时，则x＜0，函数f（x）在（-∞，a）上递减，在（a，0）上递增，
故当x=a时，函数有最小值，最小值为f（a）=2ln（-a），
（2）当a=1时，f（x）=lnx+

1

x

-1，（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，（x＞0），
设切点为T（x₀，lnx₀+

1

x0

-1），
∴切线的斜率k=

x0-1

x02

=

lnx0+ 1 x0 -1-1

x0+1

，
∴lnx₀+

1

x02

+

1

x0

-3=0，①
设g（x）=lnx+

1

x

+

1

x2

-3，
∴g′（x）=

x2-x-1

x3

，
令g′（x）=0，解得x=

-1+ 5

2

∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，

-1+ 5

2

）是减函数，（

-1+ 5

2

，+∞）上是增函数，
∵g（1）=ln1+1+1-3=-1＜0，g（

1

2

）=ln

1

2

+2+4-3=3-ln2＞0，
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（

1

2

，1）内有且仅有一根
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力