Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=-2- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数），它与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2

2

，

3π

4

），求点P到线段AB中点M的距离．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）设点A，B的参数分别为t₁，t₂．把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得t²-4t-10=0．利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．
（2）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

把点P的极坐标化为直角坐标，线段AB中点M所对的参数t=

1

2

(t1+t2)，即可得出点M的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答： 解：（1）设点A，B的参数分别为t₁，t₂．
把直线l的参数方程

x=-2- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数）代入曲线C：（y-2）²-x²=1，
化为t²-4t-10=0．
∴t₁+t₂=4，t₁t₂=-10．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

42-4×(-10)

=2

14

．
（2）由点P的极坐标（2

2

，

3π

4

），可得x_P=2

2

cos

3π

4

=-2，y_P=2

2

sin

3π

4

=2，∴P（-2，2）．
线段AB中点M所对的参数t=

1

2

(t1+t2)=2，∴x_M=-2-

1

2

×2=-3，y_M=2+

3

2

×2=2+

3

．
∴M(-3，2+

3

)．
∴|PM|=

(-2+3)2+(-2-2- 3 )2

=2．

点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、两点之间的距离公式、弦长公式、极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．