Question

已知命题p：方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）表示的曲线是双曲线；命题q：函数f（x）=x³-mx在区间（-∞，-1]上为增函数，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：根据双曲线的标准方程，及函数的单调性和导数符号的关系可求出命题p，q下的m的取值范围，然后由p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到p，q一真一假，讨论p，q的真假情况，从而求出每种情况下的m的取值范围再求并集即可．

解答： 解：p：方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）表示的曲线是双曲线，则有（m-1）（3-m）＜0；
解得：m＜1或m＞3；
q：函数f（x）=x³-mx在区间（-∞，-1]上为增函数，∴f'（x）=3x²-m≥0在区间（-∞，-1]上恒成立；
于是m≤（3x²）_min=3；
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p、q一真一假；
若p真q假，则

m＜1或m＞3 m＞3

，解得：m＞3；
若p假q真，则

1≤m≤3 m≤3

，解得：1≤m≤3；
综上所述，实数m的取值范围是[1，+∞）

点评：考查双曲线的标准方程，函数单调性和函数导数的关系，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．