Question

已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+

1

2

x²-bx．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设x₁，x₂（x₁＞x₂）是函数g（x）的两个极值点，若b≥

7

2

，求g（x₁）-g（x₂）的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′(x)=1+

a

x

，利用导数的几何意义能求出实数a的值．
（2））由已知得g′(x)=

1

x

+x-(b-1)=

x2-(b-1)x+1

x

，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x+

1

x

+1-b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．
（3）由g′(x)=

1

x

+x-(b-1)=

x2-(b-1)x+1

x

，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x＞0，设μ（x）=x²-（b-1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g（x₁）-g（x₂）的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′(x)=1+

a

x

，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+

1

2

x2-（b-1）x，
∴g′(x)=

1

x

+x-(b-1)=

x2-(b-1)x+1

x

，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+

1

x

+1-b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+

1

x

≥2，
x+

1

x

＜b-1有解，
只需要x+

1

x

的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+

1

2

x2-（b-1）x，
∴g′(x)=

1

x

+x-(b-1)=

x2-(b-1)x+1

x

，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，设μ（x）=x²-（b-1）x+1，
则μ（0）=[ln（x₁+

1

2

x12-（b-1）x₁]-[lnx₂+

1

2

x22-（b-1）x₂]
=ln

x1

x2

+

1

2

(x12-x22)-(b-1)(x1-x2)
=ln

x1

x2

+

1

2

(x12-x22)-(x1+x2)(x1-x2)
=ln

x1

x2

-

1

2

(

x12-x22

x1x2

)
=ln

x1

x2

-

1

2

(

x1

x2

-

x2

x1

)，
∵x₁＞x₂＞0，
∴设t=

x1

x2

，t＞1，
令h（t）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），t＞1，
则h′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t

)=-

(t-1)2

2t2

＜0，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，
又∵b≥

7

2

，∴（b-1）²≥

25

4

，
∵t＞1，∴由4t²-17t+4=（4t-1）（t-4）≥0得t≥4，
∴h（t）≤h（4）=ln4-

1

2

（4-

1

4

）=2ln2-

15

8

，
故g（x₁）-g（x₂）的最大值为2ln2-

15

8

．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．