题目内容

在△ABC中，已知向量
a
=（sinA，1），
b
=（cosA，
3
），且
a
∥
b
，其中A∈(0，
π
2
)．
（1）若sin（ω-A）=
3
5
，0＜ω＜
π
2
，求cosω的值；
（2）若BC=2
3
，AC+AB=4，求△ABC的面积．
考点：两角和与差的正弦函数,三角形的面积公式
专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（Ⅰ）由
a
∥
b
，得tanA=
3
3
，由sin（ω-A）=
3
5
，可得sinω=
6
5
+cosω
3
，由0＜ω＜
π
2
，得sinω的值，从而有
6
5
+cosω
3
=
1-cos2ω
，可解得cosω的值；
（2）由余弦定理可得AB•AC=
4
2+
3
，即可求△ABC的面积．
解答： 解：（Ⅰ）由
a
∥
b
，得cosA-
3
sinA=0，化为tanA=
3
3
，
∵A∈(0，
π
2
)．
∴A=
π
6

∵sin（ω-A）=
3
5
，可得sinω=
6
5
+cosω
3
，
∵0＜ω＜
π
2
，∴sinω=
1-cos2ω
，
∴
6
5
+cosω
3
=
1-cos2ω
，整理可得100cos2ω+60cosω-39=0，解得cosω=
-3-4
3
10
（舍去）或
4
3
-3
10
；
（2）∵BC=2
3
，AC+AB=4，A=
π
6

∴由余弦定理可得：12=AB2+AC2-2•AB•AC•sinA=(AB+AC)2-(2+
3
)AB•AC=16-（2+
3
）AB•AC
∴可解得：AB•AC=
4
2+
3

∴S△ABC=
1
2
•AB•AC•sinA=
1
4
×
4
2+
3
=2-
3
．
点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角形的面积公式，本题计算量较大，要求解题时认真细心，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
已知在△ABC中，若
cosA
a
=
cosB
b
=
cosC
c
，试判断△ABC的形状．
y=ax（a＞0，a≠1）是减函数，则函数f（x）=loga（x2+2x-3）的增区间是
 
．
已知曲线f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）上的一个最高点的坐标为（
π
8
，2），此点相邻的一个对称中心坐标为（
3π
8
，
1
2
），
（1）求函数f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出此函数f（x）在[-
π
8
，
7π
8
]上图象．
（3）如何由函数f（x）的图象通过适当的变换得到函数y=sinx的图象，写出变换过程．
sin(α-
π
2
)=（　　）
A、sinαB、-sinα
C、cosαD、-cosα
在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={
a
|
a
=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量
a1
=（x1，y1），
a2
=（x2，y2），当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”时，
a1
＞＞
a2
成立．按上述定义的关系“＞＞”，给出如下几个命题：
①若
e1
=（1，0），
e2
=（0，1），
0
=（0，0），则
e1
＞＞
e2
＞＞
0
；
②若
a1
＞＞
a2
，
a2
＞＞
a3
，则
a1
＞＞
a3
；
③若
a1
＞＞
a2
，则对于任意
a
∈D，
a1
+
a
＞＞
a2
+
a
；
其中真命题的序号为
 
．（把你认为正确的命题序号都填上）
双曲线与椭圆
x2
16
+
y2
64
=1有相同的焦点，且离心率为
2
，则双曲线方程为（　　）
A、x2-y2=96
B、y2-x2=100
C、x2-y2=80
D、y2-x2=24
已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为-2，两条对称轴间的最短距离为
π
2
，直线x=
π
6
是其图象的一条对称轴，则符合条件的一个解析式是（　　）
A、y=6sin（2x+
5π
6
）
B、y=6sin（4x+
5π
6
）
C、y=3sin（4x-
π
6
）+1
D、y=3sin（2x-
5π
6
）+1
如图是几何体的三视图，那么这个几何体的体积为
 

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