Question

【题目】定义在上的奇函数有最小正周期，且时，.

（1）求在上的解析式；

（2）判断在上的单调性，并给予证明；

（3）当为何值时，关于方程在上有实数解？

Answer 1

【答案】（1）；（2）在单调递减；

（3）或或.

【解析】

试题（1）可设，则,由时，可求，再由奇函数的性质可求

（2）利用函数的单调性的定义进行证明即可

（3）转化为求解函数在上的值域，结合（2）可先求在上的值域，然后结合奇函数的对称性可求在上的值域

试题解析：（1）设，则

∵时，，

由函数为奇函数可得，，∴，∵，

又因为函数是周期为4的为奇函数，，，

（2）设，令，

则

∵，∴，

∴函数在单调递增，且，

∴在单调递减

（3）由（2）可得当时，单调递减，故，

由奇函数的对称性可得，时，

当时，

∵关于方程在上有实数解，或或