题目内容
【题目】△ABC的内角A. B. C的对边分别为a,b,c,己知=b(c-asinC)。
(1)求角A的大小;
(2)设b=c,N是△ABC所在平面上一点,且与A点分别位于直线BC的两侧,如图,若BN=4,CN=2,求四边形ABNC面积的最大值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】
(1)由条件可得ccosA=c-asinC.由正弦定理得sinA+
cosA=1.化简得sin(A+
)=
,解得A即可.
(2)由余弦定理得BC2=16+4-16cosN =20-16cosN,再结合条件得到四边形面积S=S△ABC+S△BCN,求得最值.
(1)∵ ,∴
cbcosA=b(c-asinC),即
ccosA=c-asinC.
由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC,∵ sinC
0,
∴ cosA=1-sinA,即sinA+
cosA=1.∴
sinA+
cosA=
,即sin(A+
)=
.
∵ 0<A<,∴
.∴ A+
=
,即A=
.
(2)在△BCN中,由余弦定理得BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN,∵ BN=4,CN=2,
∴ BC2=16+4-16cosN =20-16cosN.
由(1)和b=c,得△ABC是等腰直角三角形,于是AB=AC=BC,
∴ 四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△BCN=
= =
==
. ∴ 当N=
时,S取最大值
,
即四边形ABCD的面积的最大值是.

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