题目内容

【题目】△ABC的内角A. B. C的对边分别为a,b,c,己知=b(c-asinC)。

(1)求角A的大小;

(2)设b=c,N是△ABC所在平面上一点,且与A点分别位于直线BC的两侧,如图,若BN=4,CN=2,求四边形ABNC面积的最大值.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

(1)由条件可得ccosA=c-asinC由正弦定理得sinA+cosA=1.化简得sin(A+)=,解得A即可.

(2)由余弦定理得BC2=16+4-16cosN =20-16cosN再结合条件得到四边形面积S=SABC+SBCN求得最值.

(1)∵ ,∴ cbcosA=b(c-asinC),即ccosA=c-asinC

由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC,∵ sinC0,

cosA=1-sinA,即sinA+cosA=1.∴ sinA+cosA=,即sin(A+)=

∵ 0<A<,∴ .∴ A+=,即A=

(2)在△BCN中,由余弦定理得BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN,∵ BN=4,CN=2,

BC2=16+4-16cosN =20-16cosN

由(1)和b=c得△ABC是等腰直角三角形,于是AB=AC=BC

∴ 四边形ABCD的面积S=SABC+SBCN=

= =

==. ∴ 当N=时,S取最大值

即四边形ABCD的面积的最大值是

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