题目内容
【题目】己知函数.
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若函数有且只有三个不同的零点,分别记为x1,x2,x3,设x1<x2<x3,且
的最大值是e2,求x1x3的最大值.
【答案】(1)当m≤0时,函数在区间(0,+∞)上单调递增;当m>0时, 函数
在(0,
)上单调递增,函数
在(
,+∞)上单调递减;(2)
.
【解析】
(1)求出函数的导数,对m分类讨论,解得导函数大于0及小于0的范围,即可得到单调性.
(2)由条件可将问题转化函数y=m的图象与函数的图象有两个交点.分析可得0<x1<e,x3>e.令
,则t∈
.由
,解得
构造
,t∈
,利用导函数转化求解即可.
(1)函数的定义域为(0,+∞).
由已知可得.
当m≤0时,>0,故
在区间(0,+∞)上单调递增;
当m>0时,由>0,解得
;由
0,解得
.
所以函数在(0,
)上单调递增,在(
,+∞)上单调递减.
综上所述,当m≤0时,函数在区间(0,+∞)上单调递增;
当m>0时, 函数在(0,
)上单调递增,
函数在(
,+∞)上单调递减.
(2)∵ 函数g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点,
显然x=e是其零点,
∴ 函数存在两个零点,即
有两个不等的实数根.
可转化为方程在区间(0,+∞)上有两个不等的实数根,
即函数y=m的图象与函数的图象有两个交点.
∵ ,
∴ 由>0,解得
,故
在上单调递增;
由<0,解得x>e,故
在(e,+∞)上单调递减;
故函数y=m的图象与的图象的交点分别在(0,e),(e,+∞)上,
即lnx-mx=0的两个根分别在区间(0,e),(e,+∞)上,
∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1,e,x3,且0<x1<e,x3>e.
令,则t∈
.
由,解得
故,t∈
.
令,则
.
令,则
.
所以在区间
上单调递增,即
>
.
所以,即
在区间
上单调递增,
即≤
=
,
所以,即x1x3≤
,
所以x1x3的最大值为.
