题目内容
【题目】已知函数,其中
为实数.
(1)若函数为定义域上的单调函数,求
的取值范围.
(2)若,满足不等式
成立的正整数解有且仅有一个,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)分析当时的单调性,可得
的单调性,由二次函数的单调性,可得
的范围;
(2)分别讨论当,当
时,当
时,当
,结合函数的单调性和最值,即可得到所求范围.
(1)由题意,当时,
为减函数,
当时,
,
若时,
也为减函数,且
,
此时函数为定义域上的减函数,满足条件;
若时,
在
上单调递增,则不满足条件.
综上所述,.
(2)由函数的解析式,可得,
当时,
,不满足条件;
当时,
为定义域上的减函数,仅有
成立,满足条件;
当时,在
上,仅有
,
对于上,
的最大值为
,
不存在满足
,满足条件;
当时,在
上,不存在整数
满足
,
对于上,
,
不存在满足
,不满足条件;
综上所述,.
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