Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，短轴长为2，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，且

m

•

n

=0．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

m

•

n

=0建立方程求得k．
（3）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x₁=x₂，y₁=-y₂，根据

m

•

n

=0求得x₁和y₁的关系式，代入椭圆的方程求得|x₁|和|y₁|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

m

•

n

=0求得2b²-k²=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（1）椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，短轴长为2，
∴

a2-b2 a = 3 2 2b=2

，
∴a=2，b=1，
∴椭圆方程为

y2

4

+x2=1；
（2）设AB：y=kx+

3

，代入椭圆方程可得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，
∴x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，x₁x₂=-

1

k2+4

，
∵

m

•

n

=0，
∴4x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+4）x₁x₂+

3

k（x₁+x₂）+3=0，
∴-1-

6k2

k2+4

+3=0，
∴k=±

2

；
（3）①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由

m

•

n

=0，则y12=4x12
又A（x₁，y₁）在椭圆上，∴x12+

y12

4

=1，
∴|x1|=

2

2

，|y1|=

2

，
∴S=

1

2

|x1|•2|y1|=1
∴三角形的面积为定值1；
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b，代入椭圆方程，可得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，
得到x₁+x₂=-

2kb

k2+4

，x₁x₂=

b2-4

k2+4

，
∵4x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+4）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴（k²+4）

b2-4

k2+4

+kb（-

2kb

k2+4

）+b²=0，
∴2b²-k²=4，
∴S=

|b|

1+k2

|AB|=

1

2

|b|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|b| 4k2-4b2+16

k2+4

=

4b2

2|b|

=1，
∴三角形的面积为定值1．
综上，三角形的面积为定值1．

点评：本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．