Question

17．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=$\frac{π}{4}$，∠DAB=$\frac{π}{3}$，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：
（1）求点B到平面ACD的距离；
（2）如图：若∠DOB的平分线交$\widehat{BD}$于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等体积方法求点B到平面ACD的距离；
（2）BD弧上存在一点G，满足DG=GB，使得FG∥面ACD．通过中位线定理可得面FOG∥面ACD，再由性质定理，即可得到结论．

解答 解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BD，AC⊥BC，
∵AB=2，∠DAB=$\frac{π}{3}$，
∴AD=1，BD=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵∠CAB=$\frac{π}{4}$，
∴OC⊥AB，OC=$\frac{1}{2}$AB=1．
在图乙中，
∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，
∴OC⊥平面ABD，
∴V_C-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∵△ACD中，AC=$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，AD=1，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
设点B到面ACD的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{4}h$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴h=$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$
∴点B到面ACD的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
（2）FG∥面ACD，理由如下：
连结OF，则△ABC中，F，O分别为BC，AB的中点，
∴FO∥AC，
又∵FO?面ACD，AC?面ACD，
∴FO∥面ACD，
∵OG是∠DOB的平分线，且OD=OB，令OG交DB于M，
则M是BD的中点，连结MF，则MF∥CD，
又∵MF?面ACD，CD?面ACD，
∴MF∥面ACD，
且MF∩FO=F，MF，FO?面FOG，
∴面FOG∥面ACD．
又FG?面FOG，
∴FG∥面ACD．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，注意运用面面垂直的性质定理，考查线面平行的判定，注意运用面面平行的性质定理，考查空间线面位置关系的转化思想和推理及运算能力，属于中档题．