Question

2．已知曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程．

Answer 1

分析 利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ即把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用垂径定理、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

解答 解：曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-2=0，
展开化为：曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）-2=0，
可得直角坐标方程：x²+y²-2x+2y-2=0，配方为：（x-1）²+（y+1）²=4，
可得圆心C（1，-1），半径r=2．
∵直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，∴OC⊥l，
∵k_OC=-1，∴k_l=1．
∴直线l的直角坐标方程为y=x．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、垂径定理、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．