题目内容
9．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，BC=CC1=4，D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；
（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．
分析 （Ⅰ）设BC1∩B1C于点E，连DE，利用三角形的中位线性质，证明DE∥A1B，即可证明A1B∥平面B1CD；
（Ⅱ）利用等体积，求点B到平面B1CD的距离．
解答 
证明：（Ⅰ）设BC1∩B1C于点E，连DE，
∵在△A1BC1中，D为A1C1的中点，E为BC1的中点，
∴DE∥A1B，
∵DE?平面B1CD，A1B?平面B1CD，
∴A1B∥平面B1CD．
（Ⅱ）解：△B1CD中，B1D=CD=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，B1C=4$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{20-8}$=4$\sqrt{6}$．
设点B到平面B1CD的距离为h，则$\frac{1}{3}×4\sqrt{6}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$，
∴h=$\sqrt{2}$．
点评 本题考查考查线面平行的证明，考查等体积方法的运用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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