Question

7．函数y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+2}$的值域是[0，$\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 由-x²+4x+2≥0，化为x²-4x-2≤0，解得x的范围即为函数的定义域．又函数y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+2}$=$\sqrt{-（x-2）^{2}+6}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：由-x²+4x+2≥0，化为x²-4x-2≤0，解得$2-\sqrt{6}$≤x≤2+$\sqrt{6}$．
∴函数的定义域为[$2-\sqrt{6}$，2+$\sqrt{6}$]．
又函数y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x+2}$=$\sqrt{-（x-2）^{2}+6}$≤$\sqrt{6}$，当且仅当x=2时取等号．
∴函数的值域为[0，$\sqrt{6}$]．
故答案为：[0，$\sqrt{6}$]．

点评 本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．