Question

5．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．
（1）求证AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）证明△ABD∽△CAD，即可证明AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函数求AD的长．

解答 （1）证明：∵AD切圆O于点A，
∴∠B=∠CAD，
∵∠ADB=∠CDA，
∴△ABD∽△CAD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴AC•AD=AB•CD；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵ED∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=90°，∠CDE=∠B，
∴∠CAD=∠CDE，
∵DE=4，DC=5，
∴CE=3，
∴sin∠CAD=$\frac{DE}{AD}$=sin∠CDE=$\frac{CE}{CD}$，
∴AD=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．