Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|，则集合 S={x|f（x）=f（61）}中的最小元素是

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出极值点坐标，所以f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次为1，2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，由此可得结论．

解答： 解：当2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）时，

x

2n-2

∈[2，4]，
∵函数f（x）满足：①f（2x）=2f（x）；②当x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，
∴n≥2时，f（x）=2^n-1×f（

x

2n-2

）=2^n-1×[1-|

x

2n-2

-3|]
由函数解析式知，当

x

2n-2

-3=0时，函数取得极大值2^n-1，
∴极大值点坐标为（3×2^n-2，2^n-1）
∴f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次为1，2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，
∵f（61）=2f（

61

2

）=4f（

61

4

）=8f（

61

8

）=16f（

61

16

）=16×

3

16

=3，
∴f（x）=3时x的最小值是12；
故答案为：12

点评：本题考查的知识点是函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出函数的极值点坐标，是解答本题的关键．