题目内容
如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1与正四面体D-ABC组成的几何体中，AA1=1，AB=2，O1是正三角形A1B1C1的中心（I）求证：DO1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求平面ACD与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）连结O1A1，由已知条件得
•
=0，从而O1D⊥A1B1，同理，O1D⊥B1C1，由此能证明DO1⊥平面A1B1C1．
（Ⅱ）以A1为原点，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACD与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的余弦值．
| A1B1 |
| O1D |
（Ⅱ）以A1为原点，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACD与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的余弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：连结O1A1，依题意有|O1A1|=
，
=
+
+
，
∴
•
=
•（
+
+
）
=
•
+
•
+
•
=2×
×cos150°+
•
=-2+2×2×cos60°=0，
∴O1D⊥A1B1，同理，O1D⊥B1C1，
又A1B1∩B1C1=B1，
∴DO1⊥平面A1B1C1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DO1经过△ABC的中心O，
连结AO，则AO=
，DO=
，
以A1为原点，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1(
，1，0)，C(0，2，1)，
D（
，1，
+1），
∴
=（
，1，0），
=（0，0，1），
=(0，2，0)，
=（
，1，
），
设平面AA1B1B的一个法向量为
=（x，y，z），
由
⊥
，
⊥
，得：
，令x=1，得
=（-2
，0，1），
同理求得平面ACD的一个法向量为
=（-2
，0，1），
∴cos＜
，
＞=
=-
．
∴平面ACD与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的余弦值为
．
2
| ||
| 3 |
| O1D |
| O1A1 |
| A1A |
| AD |
∴
| A1B1 |
| O1D |
| A1B1 |
| O1A1 |
| A1A |
| AD |
=
| A1B1 |
| O1A1 |
| A1B1 |
| A1A |
| A1B1 |
| AD |
=2×
2
| ||
| 3 |
| AB |
| AD |
=-2+2×2×cos60°=0，
∴O1D⊥A1B1，同理，O1D⊥B1C1，
又A1B1∩B1C1=B1，
∴DO1⊥平面A1B1C1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DO1经过△ABC的中心O，
连结AO，则AO=
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
以A1为原点，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1(
| 3 |
D（
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴
| A1B1 |
| 3 |
| A1A |
| AC |
| AD |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
设平面AA1B1B的一个法向量为
| n |
由
| n |
| A1A |
| n |
| A1B1 |
|
| n |
| 2 |
同理求得平面ACD的一个法向量为
| m |
| 2 |
∴cos＜
| m |
| n |
-2
| ||
| 2×3 |
| ||
| 3 |
∴平面ACD与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的余弦值为
| ||
| 3 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面所成二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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