题目内容
已知F1，F2是椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F2作长轴的垂线，在第一象限和椭圆交于点H，且tan∠HF1F2=
．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的准线方程为x=±4
，一条过原点O的动直线l1与椭圆交于A，B两点，N为椭圆上满足|NA|=|NB|的一点，试求
+
+
的值；
（3）设动直线l2：y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 4 |
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的准线方程为x=±4
| 5 |
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 2 |
| |ON|2 |
（3）设动直线l2：y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由题意知tan∠HF1F2=
=
，由此能求出椭圆离心率e=
．
（2）由已知得
=4
，e=
=
，由此求椭圆方程为
+
=1，由|NA|=|NB|，知N在线段AB的垂直平分线上，又由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，由此进行分类讨论能求出
+
+
=
．（3）设b2=3t，a2=4t，椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0，由
，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12t=0，由△=0，得m2=3t+4k2t，由此利用韦达定理结合已知条件能求出椭圆方程为
+
=1．
| ||
| 2c |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（2）由已知得
| a2 |
| c |
| 5 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 15 |
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 2 |
| |ON|2 |
| 7 |
| 30 |
|
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
解答：
解：（1）由题意知tan∠HF1F2=
=
=
=
，
∴2a2-2c2-3ac=0，
∴2-2e2-3e=0，
解得e=
或e=-2（舍），
∴e=
．
（2）∵椭圆准线方程为x=±
，
∴
=4
，又由（1）知e=
=
，
且a2=b2+c2，解得a2=20，b2=15，
∴椭圆方程为
+
=1，
由|NA|=|NB|，知N在线段AB的垂直平分线上，
又由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，
①若A，B在椭圆的短轴的顶点上，则点N在椭圆的长轴顶点上，
此时
+
+
=
+
+
=2（
+
）=
，
若A、B在椭圆的长轴顶点上，则点N在椭圆的短轴顶点上，
此时
+
+
=
+
+
=2（
+
）=
，
②当A，B，N不是椭圆顶点时，设l1：y=kx，k≠0，A（x1，y1），则直线ON：y=-
x，
由
，解得x12=
，y12=
，
∴|OA|2=|OB|2=x12+y12=
，
用-
代替k得到|ON|2=
，
∴
+
+
=2×
+2×
=
，
综上，
+
+
=
．
（3）∵
=
，设b2=3t，a2=4t，
∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0，
由
，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12t=0，
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，
∴△=0，即64k2m2-4（3+4m2）（4m2-12t）=0，
整理，得m2=3t+4k2t，
设P（x1，y1），则x1=-
=-
，
y1=kx1+m=
，
∴P（-
，
），又M（1，0），Q（4，4k+m），
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴（1+
，-
）•（-3，3（4k+m））=0恒成立，
整理，得3+4k2=m2，
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1．
∴所求椭圆方程为
+
=1．
| ||
| 2c |
| b2 |
| 2ac |
| a2-c2 |
| 2ac |
| 3 |
| 4 |
∴2a2-2c2-3ac=0，
∴2-2e2-3e=0，
解得e=
| 1 |
| 2 |
∴e=
| 1 |
| 2 |
（2）∵椭圆准线方程为x=±
| a2 |
| c |
∴
| a2 |
| c |
| 5 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
且a2=b2+c2，解得a2=20，b2=15，
∴椭圆方程为
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 15 |
由|NA|=|NB|，知N在线段AB的垂直平分线上，
又由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，
①若A，B在椭圆的短轴的顶点上，则点N在椭圆的长轴顶点上，
此时
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 2 |
| |ON|2 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| b2 |
| 2 |
| a2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 7 |
| 30 |
若A、B在椭圆的长轴顶点上，则点N在椭圆的短轴顶点上，
此时
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 2 |
| |ON|2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a2 |
| 2 |
| b2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| 7 |
| 30 |
②当A，B，N不是椭圆顶点时，设l1：y=kx，k≠0，A（x1，y1），则直线ON：y=-
| 1 |
| k |
由
|
| 60 |
| 4k2+3 |
| 60k2 |
| 4k2+3 |
∴|OA|2=|OB|2=x12+y12=
| 60(k2+1) |
| 4k2+3 |
用-
| 1 |
| k |
| 60(k2+1) |
| 3k2+4 |
∴
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 2 |
| |ON|2 |
| 4k2+3 |
| 60(k2+1) |
| 3k2+4 |
| 30(k2+1) |
| 7 |
| 30 |
综上，
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 2 |
| |ON|2 |
| 7 |
| 30 |
（3）∵
| b2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0，
由
|
∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，
∴△=0，即64k2m2-4（3+4m2）（4m2-12t）=0，
整理，得m2=3t+4k2t，
设P（x1，y1），则x1=-
| 8km |
| 2(3+4k2) |
| 4km |
| 3+4k2 |
y1=kx1+m=
| 3m |
| 3+4k2 |
∴P（-
| 4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，
∴（1+
| 4km |
| 3+4k2 |
| 3m |
| 3+4k2 |
整理，得3+4k2=m2，
∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1．
∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查三条线段倒数和的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
练习册系列答案
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若实数a，b，c，d满足
=
=1，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（ ）
| a2-2lna |
| b |
| 3c-4 |
| d |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1与正四面体D-ABC组成的几何体中，AA1=1，AB=2，O1是正三角形A1B1C1的中心