题目内容
已知双曲线
-
=1的左、右顶点分别为A1和A2，M（x1，-y1）和N（x1，y1）是双曲线上两个不同的动点．
（1）求直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程；
（2）过点P（l，0）作斜率为k（k≠0）的直线l交轨迹C于A、B两点，
①求
•
的取值范围；
②若
=λ
，问在x轴上是否存在定点E，使得
⊥
-λ
？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（1）求直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程；
（2）过点P（l，0）作斜率为k（k≠0）的直线l交轨迹C于A、B两点，
①求
| OA |
| OB |
②若
| AP |
| PB |
| OP |
| EA |
| EB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）设直线A1M与A2N的交点为Q（x，y），由已知得y2=
（x2-4），由此能求出直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程是
+
=1．
（2）①设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x3，y3），B（x4，y4），由
，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能推导出
•
的取值范围．
②设在x轴上存在点E（x0，0），则
=（1-x3，-y3），
=(x4-1，y4)，由
=λ
，得λ=-
，由
⊥(
-λ
)，得：
y3y4+y3+y4=(y3+y4)x0，由此推导出在x轴上存在定点E，使得
⊥
-λ
，E点坐标为E（4，0）．
| -y12 |
| x12-4 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）①设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x3，y3），B（x4，y4），由
|
| OA |
| OB |
②设在x轴上存在点E（x0，0），则
| AP |
| PB |
| AP |
| PB |
| y3 |
| y4 |
| OP |
| EA |
| EB |
| 2 |
| k |
| OP |
| EA |
| EB |
解答：
解：（Ⅰ）设直线A1M与A2N的交点为Q（x，y），
∵A1，A2是双曲线
-
=1的左、右顶点，∴A1（-2，0），A2（2，0），
∵M（x1，-y1）和N（x1，y1）是双曲线上两个不同的动点．
∴直线A1M：y=
（x+2），直线A2N：y=
(x-2)，
两式相减，得：y2=
（x2-4），
而M（x1，-y1）在双曲线
-
=1上，
∴
-
=1，即x12-4=
y12，∴
+
=1
∴直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程是
+
=1．
（2）①设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x3，y3），B（x4，y4），
由
，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
∴x3+x4=
，x3•x4=
，
∴y3y4=k（x3-1）•k（x4-1）=k2x3x4-k2（x3+x4）+k2，
从而
•
=x3x4+y3y4=（k2+1）x3x4-k2（x3+x4）+k2=-
，
令t=4k2+3，t≥3，则
•
=-（
+
），
∵t≥3，∴0＜
≤
，
＜
+
＜4，
∴-4≤-(
+
)＜-
，
故
•
的取值范围是[-4，-
）．
②设在x轴上存在点E（x0，0），则
=（1-x3，-y3），
=(x4-1，y4)，
∵
=λ
，∴-y3=λy4，∵y4≠0，∴λ=-
，
∵
=(1，0)，
=(x3-x0，y3)，
=(x4-x0，y4)，
∴
-λ
=（x3-x0-λx4+λx0，y3-λy4），
又∵
⊥(
-λ
)，∴
•(
-λ
)=0，
∴x3-x0-λx4+λx0=0，
将x3=
y3+1，x4=
y4+1，λ=-
代入上式，并整理，得：
y3y4+y3+y4=(y3+y4)x0，
当y3+y4≠0时，x0=
+1=
+1=4，
当y3+y4=0时，k=0不合题意，
∴在x轴上存在定点E，使得
⊥
-λ
，E点坐标为E（4，0）．
∵A1，A2是双曲线
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∵M（x1，-y1）和N（x1，y1）是双曲线上两个不同的动点．
∴直线A1M：y=
| -y1 |
| x1+2 |
| y1 |
| x1-2 |
两式相减，得：y2=
| -y12 |
| x12-4 |
而M（x1，-y1）在双曲线
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴
| x12 |
| 4 |
| y12 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程是
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）①设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x3，y3），B（x4，y4），
由
|
∴x3+x4=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
∴y3y4=k（x3-1）•k（x4-1）=k2x3x4-k2（x3+x4）+k2，
从而
| OA |
| OB |
| 5k2+12 |
| 4k2+3 |
令t=4k2+3，t≥3，则
| OA |
| OB |
| 5 |
| 4 |
| 33 |
| 4t |
∵t≥3，∴0＜
| 1 |
| t |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 33 |
| 4t |
∴-4≤-(
| 5 |
| 4 |
| 33 |
| 4t |
| 5 |
| 4 |
故
| OA |
| OB |
| 5 |
| 4 |
②设在x轴上存在点E（x0，0），则
| AP |
| PB |
∵
| AP |
| PB |
| y3 |
| y4 |
∵
| OP |
| EA |
| EB |
∴
| EA |
| EB |
又∵
| OP |
| EA |
| EB |
| OP |
| EA |
| EB |
∴x3-x0-λx4+λx0=0，
将x3=
| 1 |
| k |
| 1 |
| k |
| y3 |
| y4 |
| 2 |
| k |
当y3+y4≠0时，x0=
| 2y3y4 |
| k(y3+y4) |
| 2(-9k2) |
| k(-6k) |
当y3+y4=0时，k=0不合题意，
∴在x轴上存在定点E，使得
| OP |
| EA |
| EB |
点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量积的取值范围的求法，考查满足条件的定点坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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下列命题错误的是（ ）
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B、点（
| ||||||||||||
C、若
| ||||||||||||
D、若|
|
若实数a，b，c，d满足
=
=1，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（ ）
| a2-2lna |
| b |
| 3c-4 |
| d |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
（1）求值（0.064）
如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1与正四面体D-ABC组成的几何体中，AA1=1，AB=2，O1是正三角形A1B1C1的中心