题目内容
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为| 64π |
| 3 |
（Ⅰ）将y表示成r的函数f（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数f（r）的单调性，并确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
（参考公式：球的表面积公式S=4πr2，球的体积公式V=
| 4 |
| 3 |
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,球的体积和表面积
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）根据圆柱和球的体积公式即可建立函数关系；
（Ⅱ）求函数的导数，利用导数的应用即可求出最优解．
（Ⅱ）求函数的导数，利用导数的应用即可求出最优解．
解答：
解：（Ⅰ）因为容器的体积为
立方米，所以
+πr2l=
π，解得l=
-
r
所以圆柱的侧面积为2πrl=2πr(
-
r)=
-
，
两端两个半球的表面积之和为4πr2
所以y=(
-
)×3+4πr2×4=
+8πr2
又l=
-
r＞0⇒r＜2
，所以定义域为(0，2
)
（Ⅱ）因为y′=-
+16πr=
所以令y′＞0，得2＜r＜2
；令y′＜0，得0＜r＜2
所以当r=2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时：l=
| 64π |
| 3 |
| 4πr3 |
| 3 |
| 64 |
| 3 |
| 64 |
| 3r2 |
| 4 |
| 3 |
所以圆柱的侧面积为2πrl=2πr(
| 64 |
| 3r2 |
| 4 |
| 3 |
| 128π |
| 3r |
| 8πr2 |
| 3 |
两端两个半球的表面积之和为4πr2
所以y=(
| 128π |
| 3r |
| 8πr2 |
| 3 |
| 128π |
| r |
又l=
| 64 |
| 3r2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
（Ⅱ）因为y′=-
| 128π |
| r2 |
| 16π(r3-8) |
| r2 |
所以令y′＞0，得2＜r＜2
| 4 |
| 3 |
所以当r=2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时：l=
| 8 |
| 3 |
点评：本题是应用题，解决本题的关键是在理解意的基础上构建函数模型，在求函数最值时要注意函数的定义域；利用导数求最值是解决本题的关键．
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