Question

已知函数f（x）=

-2x+a

2x+1

是定义域R上的奇函数，其中a为实数．
（1）求a的值；     
（2）证明f（x）是R上的减函数；
（3）若不等式f(logm

3

4

)+f(-1)＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用函数是奇函数，f（0）=0，即可求a的值；     
（2）直接利用函数的单调性的定义证明f（x）是R上的减函数；
（3）通过函数的单调性以及函数的是奇函数，转化不等式f(logm

3

4

)+f(-1)＞0推出对数不等式，即可求实数m的取值范围．

解答： （1）解：由题意f（0）=0，即a=1．
（2）证明：设x₁，x₂是R上任意两不等的实数，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，f(x)=

2

2x+1

-1△y=f（x₂）-f（x₁）=

2

2x+1

-

2

2x+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2
于是△y＜0，所以函数在R上是减函数．
（3）f（x）是奇函数，所以不等式转化为f(logm

3

4

)＞f(1)，
又f（x）是R上的减函数，
所以

0＜m＜1 logm 3 4 ＜1

，
解得0＜m＜

3

4

；或

m＞1 logm 3 4 ＜1

，
解得m＞1；
综上所述m的范围是(0，

3

4

)∪(1，+∞)．

点评：本题考查函数的基本性质的应用，考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，函数恒成立问题的应用，考查计算能力以及转化思想．