Question

1．已知函数f（x）=x²+ax在x=0与x=1处的切线互相垂直．
（1）若函数g（x）=f（x）+$\frac{b}{2}$lnx-bx在（0，+∞）上单调递增，求a，b的值；
（2）设函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}-ln（1-x），x≤0\\ f（x），x＞0\end{array}$，若方程h（x）-k（x-1）=0有四个不相等的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由切线垂直的条件：斜率之积为-1，求得a；求得g（x）的导数，由恒成立思想，可得b的值；
（2）画出y=h（x）与y=k（x-1）的图象，求出相切的情况，求得k的值，结合图象观察即可得到k的范围．

解答 解：（1）f′（x）=2x+a，∴f′（0）f′（1）=-1，即a（a+2）=-1，a=-1；
g（x）=x²-x+$\frac{b}{2}$lnx-bx，g′（x）=2x-1+$\frac{b}{2x}$-b≥0在x＞0上恒成立，即（2x-1）（1-$\frac{b}{2x}$）≥0，
当x≥$\frac{1}{2}$时，b≤2x，即b≤1；当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，b≥2x，即b≥1，故b=1．（6分）
（2）y=h（x）与y=k（x-1）有四个交点．
如图，设直线y=k（x-1）与曲线y=-ln（1-x）切于（x₀，-ln（1-x₀）），
则k=-$\frac{-1}{{1-{x_0}}}$=$\frac{1}{{1-{x_0}}}$，
∴-ln（1-x₀）=$\frac{1}{{1-{x_0}}}$（x₀-1）=-1，$\frac{1}{{1-{x_0}}}$=$\frac{1}{e}$，
由图可得k∈（0，$\frac{1}{e}$）．（12分）

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数方程的转化思想的运用，以及数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．