Question

定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，且f（2）=0，则不等式（x-1）f（x）＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：奇函数满足f（2）=0，可得f（-2）=-f（2）=0．对于不等式（x-1）f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＞0=f（2），由于x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，可得1＜x＜2．
当x＜0时，利用其单调性奇偶性可得-2＜x＜0．当0≤x≤1时，不等式的解集为∅．即可得出．

解答： 解：∵奇函数满足f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0．
对于不等式（x-1）f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＞0=f（2），
∵x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴1＜x＜2．
当x＜0时，不等式（x-1）f（x）＞0，化为f（x）＜0=f（-2），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∴-2＜x＜0．
当0≤x≤1时，不等式的解集为∅．
综上可得：不等式的解集为（-2，0）∪（1，2）．
故答案为：（-2，0）∪（1，2）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．