Question

20．设函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）．若f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上具有单调性，且f（-$\frac{π}{3}$）=f（0）=-f（$\frac{2π}{3}$），则ω=$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 根据题意可得可得函数f（x）的一条对称轴，结合对称轴的定义和周期的定义可以得到该函数的最小正周期，由此求得ω的值．

解答 解：∵f（-$\frac{π}{3}$）=f（0），
∴函数f（x）的一条对称轴方程为x=$\frac{-\frac{π}{3}+0}{2}$=-$\frac{π}{6}$．
则x=$\frac{2π}{3}$离最近对称轴距离为|-$\frac{π}{6}$-$\frac{2π}{3}$|=$\frac{5π}{6}$
又f（-$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{2π}{3}$），且f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上具有单调性，
∴故0离最近对称轴的距离也为$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{T}{2}$=2×$\frac{5π}{6}$+（$\frac{2π}{3}$-0）=$\frac{7π}{3}$，
则$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{3}$，
故ω=$\frac{6}{7}$．
故答案是：$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查f（x）=Acos（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．