Question

8．在平面直角坐标系xoy中，抛物线C：x²=4y．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C相交于不同的两点A，B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）已知点Q（1，3），F为抛物线的焦点，在抛物线C上求一点P，使得|PF|+|PQ|取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，
得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．
（Ⅱ）利用抛物线的定义可得|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|QM|，故|QM|（Q到准线的距离）为所求．

解答 解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点F（0，1），设l：x=ty+1代入抛物线y²=4x消去x得，
y²-4ty-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．                        …（7分）
（Ⅱ） 设点P到抛物线C的距离为|PM|，则|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|
当Q，P，M三点共线时|PM|+|PQ|取得最小值，
即点Q到准线的距离
∴|PF|+|PQ|的最小值为4，且点P坐标为（1，$\frac{1}{4}$）．…（12分）

点评 本题综合考查了抛物线的方程，性质，与直线的位置关系，属于综合题．