Question

在直角坐标平面内，过点P（0，3）的直线与圆心为C的圆x²+y²-2x-3=0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是（　　）

• A、2
• B、4
• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：首先对直线的方程进行讨论①斜率不存在的直线，可以直接求出三角形的面积．②斜率存在的直线，利用基本不等式求出三角形的面积的最大值．

解答： 解：过点P（0，3）的直线与圆心为C的圆x²+y²-2x-3=0相交于A，B两点，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：x=0
在y轴上所截得的线段长为d=2

22-12

=2

3

所以S△ABC=

1

2

•2

3

•1=

3

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y=kx+3
设圆心到直线的距离为d，则所截得的弦长l=2

4-d2

所以：S△ABC=

1

2

•2

4-d2

d=

4-d2

d2

≤

4-d2+d2

2

=2
所以：三角形面积的最大值为：2
故选：A

点评：本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，对直线的方程的存在形式进行分类讨论，及相关的运算问题．