Question

5．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，∠BAA₁=$\frac{2π}{3}$，∠CAA₁=$\frac{π}{3}$，AB=AC=1，AA₁=2，点O是B₁C与BC₁的交点．
（1）求AO的距离；
（2）求异面直线AO与BC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$），由此能求出AO．
（2）由得${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$，由此能求出异面直线AO与BC所成的角的余弦值．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$），
∴AO=|$\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（2）由（1），得${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$，cos＜$\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴异面直线AO与BC所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．