Question

①已知a+b=1，求证：a²+b²＞

1

4

；
②已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n-2，求证数列{

Sn

2n+1

}是等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定,基本不等式

专题：等差数列与等比数列

分析：①由a+b=1，知a=1-b，从而得到a²+b²=2b²-2b+1，由此利用配方法能证明a²+b²＞

1

4

．
②由

Sn

2n+1

=

2n2-3n-2

2n+1

=

(n-2)(2n+1)

2n+1

=n-2，能证明数列{

Sn

2n+1

}是等差数列．

解答： ①证明：∵a+b=1，∴a=1-b，
∴a²+b²=1-2b+b²+b²
=2b²-2b+1
=2（b-

1

2

）²+

1

2

≥

1

2

＞

1

4

，
∴a²+b²＞

1

4

．
②∵数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n-2，
∴

Sn

2n+1

=

2n2-3n-2

2n+1

=

(n-2)(2n+1)

2n+1

=n-2，
∴数列{

Sn

2n+1

}是等差数列．

点评：本题考查不等式的证明，考查等差数列的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．