Question

复数z满足|z|=1，且z²+2z+

1

z

＜0．求z．

Answer 1

考点：复数及其指数形式、三角形式,复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：由题意可设z=cosα+isinα，代入已知式子可得

cos2α+3cosα＜0 2sinαcosα+sinα=0

，分类讨论可得．

解答： 解：由题意可设z=cosα+isinα，
∴z²=cos²α-sin²α+2isinαcosα，
2z=2cosα+2isinα，

1

z

=cosα-isinα
∴z2+2z+

1

z

=(cos2α+3cosα)+(2sinαcosα+sinα)i＜0
∴

cos2α+3cosα＜0 2sinαcosα+sinα=0

若sinα=0则cos2α=1，由cos2α+3cosα＜0，可得cosα=-1，z=-1
若cosα=-

1

2

，则cos2α=-

1

2

cos2α+3cosα＜0，可得z=-

1

2

±

3

2

i
∴z=-1或z=-

1

2

±

3

2

i．

点评：本题考查复数的基本运算，属涉及分类讨论的思想，属基础题．