Question

第30届奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，射击运动员正在积极备战，若某运动员在1次射击中成绩为10环的概率为

1

3

，该运动员在4次射击中成绩为10环的次数为ξ．
（Ⅰ）求在4次射击中恰有2次射击成绩为10环的概率；
（Ⅱ）求在4次射击中至少有3次射击成绩为10环的概率；
（Ⅲ）求随机变量ξ的数学期望Eξ（结果用分数表示）

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意知，ξ～B(4，

1

3

)，由此能求出在4次射击中恰有2次射击成绩为10环的概率．
（Ⅱ）在4次射击中至少有3次射击成绩为10环包括恰有3次击中10环和4次击中10环，由此能求出结果．
（Ⅲ）由ξ～B(4，

1

3

)，能求出随机变量ξ的数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，随机变量ξ服从二项分布，
即ξ～B(4，

1

3

)．…（2分）
在4次射击中恰有2次射击成绩为10环的概率为：
P(ξ=2)=

C

2 4

×(

1

3

)2×(1-

1

3

)2=6×

1

9

×

4

9

=

8

27

．
∴在4次射击中恰有2次射击成绩为10环的概率是

8

27

．…（4分）
（Ⅱ）记“在4次射击中至少有3次射击成绩为10环”为事件 A，
则P(A)=P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=

C

3 4

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)+

C

4 4

×(

1

3

)4=

1

9

．
∴在4次射击中至少有3次射击成绩为10环的概率为

1

9

．…（8分）
（Ⅲ）∵ξ～B(4，

1

3

)，
∴Eξ=4×

1

3

=

4

3

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．