Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a₄=2a₂+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*，设T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）求出数列的首项和公差，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法即可得到结论．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
由S₄=4S₂，a₄=2a₂+1得

4a1+6d=8a1+4d a1+3d=2a1+2d+1

，
解得a₁=1，d=2．
因此a_n=2n-1，n∈N^*．
（2）由已知

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*，
由（1）知a_n=2n-1，n∈N^*，
所以b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*．
又T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
两式相减得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+••+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
所以T_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的计算，以及利用错位相减法进行求和．